设函数f和x都是定义在集合2上的函数，对于任意的2x，都有x成立，称函数x与y在l上互为“l函数”．函数f=2x与g=sinx在M上互为

题文

设函数f（x）和x都是定义在集合2上的函数，对于任意的2x，都有x成立，称函数x与y在l上互为“l函数”．（1）函数f（x）=2x与g（x）=sinx在M上互为“H函数”，求集合M；（2）若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）与g（x）=x+1在集合M上互为“x函数”，求证：a＞1；（3）函数m与m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N*}上互为“m函数”，当m时，m，且m在m上是偶函数，求函数m在集合M上的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，化简得，2sinx（1-cosx）=0，sinx=0或cosx=1，…（2分）解得x=kπ或x=2kπ，k∈Z，即集合M={x|x=kπ}k∈Z．…（2分）（若学生写出的答案是集合M={x|x=kπ，k∈Z}的非空子集，扣（1分），以示区别．）（2）证明：由题意得，ax+1=ax+1（a＞0且a≠1）…（2分）变形得，ax（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=1a-1，…（2分）因为ax＞0，所以1a-1＞0，即a＞1．…（2分）（3）当-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于函数g（x）在（-1，1）上是偶函数则g（x）=g（-x）=log2（1-x）所以当-1＜x＜1时，g（x）=log2（1+|x|）…（2分）由于f（x）=x+2与函数g（x）在集合M上“互为H函数”所以当x∈M，f（g（x）=g（f（x））恒成立，g（x）+2=g（x+2）对于任意的x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）恒成立，即g（x+2）-g（x）=2…（2分）所以g[x+2（n-1）+2]-g[x+2（n-1）]=2，即g（x+2n）-g[x+2（n-1）]=2所以g（x+2n）=g（x）+2n，当x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）时，x-2n∈（-1，1）g（x-2n）=log2（1+|x-2n|）…（2分）所以当x∈M时，g（x）=g[（x-2n）+2n]=g（x-2n）+2n=log2（1+|x-2n|）+2n．…（2分）

解析

1a-1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）和x都是定义在集合2上的函.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。