已知函数f=x3+ax2+bx+1，a，b∈R．函数f的图象在点P）处的切线方程为y=x+4．求函数f的解析式；

题文

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）在区间(k，k+23)上是单调函数，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）函数f（x）=x3+ax2+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．所以f′（x）=3x2+2ax+b，所以f′（1）=3+2a+b=1…①，函数经过（1，f（1）），即：5=1+a+b+1…②；解①②得：a=-5，b=8；所以函数的解析式为：f（x）=x3-5x2+8x+1．（Ⅱ）由（1）可知f′（x）=3x2-10x+8，令3x2-10x+8=0，即x=2，x=43，当x＜43时函数是增函数，43≤x≤2时函数是减函数，x＞2时，函数是增函数，函数f（x）在区间(k，k+23)上是单调函数，所以k≤23或k=43或k≥2时，满足题意．

解析

43

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。