已知f=3x

题文

（1）已知f（x-2）=3x-5，求f（x）；（2）已知f（1-cos x）=sin2x，求f（x）；（3）若f{f[f（x）]}=27x+26，求一次函数f（x）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=x-2，则x=t+2，t∈R，由已知有：f（t）=3（t+2）-5=3t+1，故f（x）=3x+1．（2）∵f（1-cosx）=sin2x=1-cos2x，令1-cosx=t，cosx=1-t，∵-1≤cosx≤1，∴0≤1-cosx≤2，∴0≤t≤2，∴f（t）=1-（1-t）2=-t2+2t（0≤t≤2），故f（x）=-x2+2x（0≤x≤2）．（3）设f（x）=ax+b，f[f（x）]=a2x+ab+b，f{f[f（x）]}=a（a2x+ab+b）+b=a3x+a2b+ab+b，∴a3=27a2b+ab+b=26解得a=3，b=2．则f（x）=3x+2，f[f（x）]=3（3x+2）+2=9x+8．f{f[f（x）]}=3（9x+8）+2=27x+26，∴a=3，b=2，f（x）=3x+2为所求．

解析

a3=27a2b+ab+b=26

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知f（x-2）=3x-5，求f（.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。