已知函数f=kx+b，f=20，又f，f，f成等比数列．求函数f的解析式；设an=2f+2n

题文

已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f（10）=20，又f（1），f（3），f（9）成等比数列．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设an=2f（n）+2n，求数列{an}的前n项和Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（x）=kx+b（k≠0），∴f（1）=k+b，f（3）=3k+b，f（9）=9k+b，因为f（1），f（3），f（9）成等比数列所以f2（3）=f（1）•f（9），所以kb=0，又k≠0，所以b=0，∵f（10）=20，解得k=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x…（6分）（II）∵an=22n+2n…（8分）∴Sn=4+42+43+…+4n+2(1+2+3+…+n)=4n+1-43+n2+n…（13分）

解析

4n+1-43

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。