已知定义在R上的奇函数f(x)=4x+bax2+1的导函数为f′，且f′，在点x=1处取得极值．求函数f的解析式；若函数f在

题文

已知定义在R上的奇函数f(x)=4x+bax2+1的导函数为f′（x），且f′（x），在点x=1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间（m，m+2）上是增函数，求实数m所有取值的集合；（3）当x1，x2∈R时，求f′（x1）-f′（x2）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=4x+bax2+1是奇函数，∴f（0）=0，求得b=0，又∵f′(x)=4(ax2+1)-4x•2ax(ax2+1)2，且f（x）在点x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=1，故f(x)=4xx2+1．（2）∵f′(x)=-4(x-1)(x+1)(x2+1)2，由f′（x）＞0得，-1＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间为（-1，1）．若f（x）在区间（m，m+2）上是增函数，则有m=-1．即m取值的集合为{-1}．（3）∵f′(x)=-4(x-1)(x+1)(x2+1)2=4[2(x2+1)2-1x2+1]，令t=1x2+1，则f′(x)=g(t)=4(2t2-t)=8(t-14)2-12，t∈(0，1]，∴f′(x)∈[-12，4]，∴f′(x1)-f′(x2)≤4-(-12)=92，∴f′（x1）-f′（x2）的最大值为92．

解析

4x+bax2+1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的奇函数f(x)=4x+b.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。