已知定义在实数集R上的函数f=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．若函数f在区间和上都是增函数，在区

题文

已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；（2）若a，b，c满足b2-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c．由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax2+2bx-18．（3分）又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．从而3a-2b-18=027a+6b-18=0.解得a=2b=-6.（5分）又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x3-6x2-18x-7（7分）（2）f′（x）=3ax2+2bx+c由条件b2-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）因为f'（x）为二次三项式，并且△=（2b）2-4（3ac）=4（b2-3ac）＜0，所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数；当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数．因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）

解析

3a-2b-18=027a+6b-18=0.

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。