对定义域分别是F、G的函数y=f、y=g，规定：函数h=f(x)+g(x)，当x∈F且x∈Gf(x)，当x∈F且x∉Gg(x)，当x∉F且x∈

题文

对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)+g(x)，当x∈F且x∈G f(x)，当x∈F且x∉G g(x)，当x∉F且x∈G已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（a∈R）．（1）求函数h（x）的解析式；（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数f（x）=x2的定义域F=（-∞，+∞），函数g（x）=alnx的定义域G=（0，+∞），所以h（x）=x2+alnx     x＞0x2         x≤0（4分）（2）当x≤0时，函数h（x）=x2单调递减，所以函数h（x）在（-∞，0]上的最小值为h（0）=0．（5分）当x＞0时，h（x）=x2+alnx．若a=0，函数h（x）=x2在（0，+∞）上单调递增．此时，函数h（x）不存在最小值．（6分）若a＞0，因为h′(x)=2x+ax=2x2+ax＞0，（7分）所以函数h（x）=x2+alnx在（0，+∞）上单调递增．此时，函数h（x）不存在最小值．（8分）若a＜0，因为h′(x)=2x2+ax=2(x+-a2)(x--a2)x，（9分）所以函数h（x）=x2+alnx在(0，-a2)上单调递减，在(-a2，+∞)上单调递增．此时，函数h（x）的最小值为h(-a2)．（10分）因为h(-a2)=-a2+aln-a2=-a2+a2ln(-a2)=-a2[1-ln(-a2)]，（11分）所以当-2e≤a＜0时，h(-a2)≥0，当a＜-2e时，h(-a2)＜0．（13分）综上可知，当a＞0时，函数h（x）没有最小值；当-2e≤a≤0时，函数h（x）的最小值为h（0）=0；当a＜-2e时，函数h（x）的最小值为h(-a2)=-a2[1-ln(-a2)]．（14分）

解析

x2+alnx     x＞0x2         

考点

据考高分专家说，试题“对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。