设函数f=ax3+bx2+cx+d满足：∀x∈R都有f+f=0，且x=1时，f取极小值

题文

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值-23．（1）f（x）的解析式；（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：x∈(0，3)时，F(x)≤34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为，∀x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：f(1)=-23，得a+c=-23（3分）解之得：a=13，c=-1从而，函数解析式为：f(x)=13x3-x（5分）（2）由于，f'（x）=x2-1，设：任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：k1=f'（x1）=x12-1，k2=f'（x2）=x22-1又因为：-1≤x1≤1，-1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠-1故，当x∈[-1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直（10分）（3）当：x∈(0，3)时，x2∈（0，3）且3-x2＞0此时F（x）=|xf（x）|=|x(13x3-x)|=13x2(3-x2)≤13×(x2+3-x22)2=34当且仅当：x2=3-x2，即x=62∈(0，3)，取等号，故；F(x)≤34（14分）

解析

23

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。