已知函数f(x)=axx2+b，在x=1处取得极值为2．求函数f的解析式；若函数f在区间上为增函数，求实数m的取值范围；

题文

已知函数f(x)=axx2+b，在x=1处取得极值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若直线l与f(x)=axx2+b图象相切于点P（x0，y0），求直线l的斜率的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）已知函数f(x)=axx2+b，∴f′(x)=a(x2+b)-ax(2x)(x2+b)2．（2分）又函数f（x）在x=1处取得极值2，∴f′(1)=0f(1)=2即a(1+b)-2a=0a1+b=2⇒a=4b=1∴f(x)=4xx2+1．（4分）（Ⅱ）∵f′(x)=4(x2+1)-4x(2x)(x2+1)2=4-4x2(x2+1)2．由f′（x）＞0，得4-4x2＞0，即-1＜x＜1，所以f(x)=4xx2+1的单调增区间为（-1，1）．（6分）因函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，则有m≥-12m+1≤12m+1＞m解得-1＜m≤0，即m∈（-1，0]时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数．（9分）（Ⅲ）∵f′(x)=4-4x2(x2+1)2，∴直线l的斜率为k=f′(x0)=4-4x02(x02+1)2=4[2(x02+1)2-1x02+1]（11分）令1x02+1=t，t∈(0，1)，则直线l的斜率k=4（2t2-t）（t∈（0，1）∴k∈[-12，4]，即直线l的斜率k的取值范围是[-12，4]（14分）[或者由k=f（x0）转化为关于x02的方程，根据该方程有非负根求解]．

解析

axx2+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=axx2+b，在x=1.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。