已知函数f(x)=13a2x3+3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x

题文

已知函数f(x)=13a2x3 +3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，f（x）在x=1处的切线的斜率为-1，（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）是否总存在实数m，使得对任意的x1∈[-1，2]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f'（x）=a2x2+6ax+8，f'（1）=a2+6a+8=-1得a=-3，则f（x）=3x3-9x2+8x（3分）f'（x）=9x2-18x+8=（3x-2）（3x-4）令f′(x)＞0得x＞43或x＜23；f′(x)＞0得23＜x＜43；∴f(x)的递增区间为(-∞，23)，(43，+∞)；递减区间为(23，43)（7分）（2）由（1）得x-1（-1，23）23（23，43）43（42，2）2f'（x）+0-0+f（x）-20增209减169增4所以当x1∈[-1，2]时，-20≤f（x1）≤4，（9分）假设对任意的都存在x1∈[-1，2]x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1）成立，设g（x0）的最大值为T，最小值为t，则T≥4t≤20（11分）又g′（x）=9x2+3m2＞0，所以当x0∈[0，1]时，T=g（1）=1+3m2-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（15分）

解析

43

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=13a2x3+3ax2.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。