已知函数y=kx与y=x2+2的图象相交于A，B，l1，l2分别是y=x2+2的图象在A，B两点的切线，M，N分

题文

已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．（I）求k的取值范围；（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由方程y=kxy=x2+2消y得x2-kx+2=0．①依题意，该方程有两个正实根，故△=k2-8＞0x1+x2=k＞0解得k＞22．（II）由f′（x）=2x，求得切线l1的方程为y=2x1（x-x1）+y1，由y1=x12+2，并令y=0，得t=x12-1x1，x1，x2是方程①的两实根，且x1＜x2，故x1=k-k2-82=4k+k2-8，k＞22，x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是(0，2)．t是关于x1的增函数，定义域为(0，2)，所以值域为（-∞，0）．（III）当x1＜x2时，由（II）可知|OM|=|t|=-x12+1x1．类似可得|ON|=x22-1x2．|OM|-|ON|=-x1+x22+x1+x2x1x2．由①可知x1x2=2．从而|OM|-|ON|=0．当x2＜x1时，有相同的结果|OM|-|ON|=0．所以|OM|=|ON|．

解析

y=kxy=x2+2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。