二次函数f=ax2+bx满足条件：①对任意x∈R，均有f=f；②函数f的图象与直线y=x相切．求f的解析式

题文

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．（I）求f（x）的解析式；（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，∴方程组y=ax2+bxy=x有且只有一解；即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根，∴△=（b-1）2=0∴b=1，a=12．∴函数f（x）的解析式为f(x)=12x2+x．（6分）（其它做法相应给分）（II）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，∴不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）．即12(x-t)2+(x-t)≤x的解集为[4，m]．∴方程12(x-t)2+(x-t)=x的两根为4和m，即方程x2-2tx+t2-2t=0的两根为4和m．∴4+m=2t4m=t2-2t(m＞4)，解得t=8，m=12∴t和m的值分别为8和12．（13分）

解析

y=ax2+bxy=x

考点

据考高分专家说，试题“二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。