已知函数f的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A对称．求函数f的解析式；若g(x)=f(x)+ax，且g(x)在区间

题文

已知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若g(x)=f(x)+ax，且g(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上…（3分）∴2-y=-x+1-x+2，∴y=x+1x，∴f(x)=x+1x…（6分）（Ⅱ）由题意g(x)=x+a+1x，∴g(x)=x+a+1x≥6∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6-x），即a≥-x2+6x-1，…（9分）令q（x）=-x2+6x-1=-（x-3）2+8（x∈（0，2]），∴x∈（0，2]时，q（x）max=7…（11分）∴a≥7…（12分）

解析

1-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的图象与函数h(x)=x.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。