已知函数f=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，且过原点，曲线y=f在P处的切线l的斜率是

题文

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，且过原点，曲线y=f（x）在P（-1，2）处的切线l的斜率是-3（1）求f（x）的解析式；（2）若y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，数m的取值范围；（3）若对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵曲线y=f（x）过原点，∴d=0．由f（x）=ax3+bx2+cx+d，得：f'（x）=3ax2+2bx+c，又x=0是f（x）的极值点，∴f'（0）=0，∴c=0，∵过点P（-1，2）的切线l的斜率为f'（-1）=3a-2b，由f(-1)=2f′(-1)=-3，得：-a+b=23a-2b=-3，解得：a=1b=3．故f（x）=x3+3x2；（2）f'（x）=3x2+6x=3x（x+2），令f'（x）＞0，即x（x+2）＞0，∴x＞0或x＜-2∴f（x）的增区间为（-∞，-2]和[0，+∞）．∵f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，∴[2m-1，m+1]⊆（-∞，-2]或[2m-1，m+1]⊆[0，+∞）；   ∴m+1≤-22m-1＜m+1或2m-1≥02m-1＜m+1．解得：m≤-3或12≤m＜2；（3）由（2）知，函数f（x）在[-1，0]上为减函数，在（0，1]上为增函数．∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4，∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，故对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤M-N=4-0=4，要使对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，则m≥4．所以，m最小值为4．

解析

f(-1)=2f′(-1)=-3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。