已知f=ax2+c的图象经过点，且在x=1处的切线方程是2x

题文

已知 f（x）=ax2+c的图象经过点（2，1），且在x=1处的切线方程是2x-4y-1=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）点P是直线y=-1上的动点，自点P作函数f（x）的图象的两条切线PA、PB（点A、B为切点），求证直线AB经过一个定点，并求出定点的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f′（x）=2ax，…（1分）而切线2x-4y-1=0的斜率为12，所以2a=12，a=14又图象经过点（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，所以函数f(x)=14x2…（5分）（2）设点P（x0，-1），切点坐标为(t，14t2)，f′(x)=12x，那么切线的斜率为12t，…（6分）所以切线方程为y-14t2=t2(x-t)，整理得到：y=t2x-14t2，…（8分）此切线经过点P（x0，-1），则t2-2x0t-4=0，…（9分）再分别设两切点坐标为A(t1，14t21)，B(t2，14t22)，那么t1t2=-4，t1+t2=2x0，…（10分）又直线AB的斜率KAB=14t21-14t22t1-t2=14(t1+t2)，…（11分）所以直线AB的方程为y-14t21=14(t1+t2)(x-t1)整理得到：y=12x0x-14t1t2，而t1t2=-4，所以直线AB的方程为y=12x0x+1，…（13分）所以直线AB经过定点（0，1）…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ax2+c的图象经过点（2.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。