已知：函数f=lnx的图象过点A且在A处的切线斜率为2，g(x)=13x3+12ax2+6x+2求函数f的解析式；

题文

已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2，g(x)=13x3+12ax2+6x+2（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意的x∈（0，+∞）f（x）≤g′（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f（x）在[t，2t]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由函数f（x）的图象过点A（e，e），所以em+n=e，①f′（x）=mlnx+m+nx，所以2m+ne=2，②联立①②解得m=1，n=0，所以f（x）=xlnx．（Ⅱ）由题意知，g′（x）=x2+ax+6，f（x）≤g′（x），即xlnx≤x2+ax+6，故a≥lnx-x-6x对任意x∈（0，+∞）成立，令h（x）=lnx-x-6x（x＞0），则h′（x）=1x-1+6x2=-x2+x+6x2=-x2-x-6x2=-(x+2)(x-3)x2．令h′（x）=0，因为x＞0，则x=3，当0＜x＜3时，h′（x）＞0，当x＞3时，h′（x）＜0，∴x=3时h（x）取最大值，h（x）max=ln3-5．故a≥ln3-5．所以实数a的取值范围为[ln3-5，+∞）．（III）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）当x∈（0，1e），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（ 1e，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，①当t＜1e＜2t时，即12e＜t＜1e时，f（x）min=f（ 1e）=-1e； ②当t≥1e时，f（x）在[t，2t]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；③当2t≤1e时，0＜t≤12e时，f（x）在[t，2t]上单调递减，f（x）min=f（2t）=2tln2t；          所以f（x）min=tlnt，t≥1e-1e，12e＜t＜1e2tln2t，t≤12e．

解析

nx

考点

据考高分专家说，试题“已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。