已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2

题文

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-（m+1）x-m-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且OB=3OA．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，过点A的直线y=12x+12与抛物线交于点E．问：在抛物线的对称轴上是否存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G（x，1）在抛物线上，求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设条件，设A（-x0，0），B（3x0，0）（x0＞0），则x0=m+12，∴由A（-x0，0），知(-m+12)2-(m+1)×(-m+12)-m-2=0，即3m2+2m-5=0，解得m=1，或m=-53（舍）．∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3．（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似．∵这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3，∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），对称轴为直线x=1．∵过点A的直线y=12x+12与抛物线交于点E，∴y=x2-2x-3y=12x+12，解得x=1y=0或x=72y=94，∴点E的坐标为（72，94）．过点E作EH⊥x轴于H在Rt△AEH中，可求AE=945． 若对称轴与直线y=12x+12交于点P，∴P点坐标为（1，1）∵对称轴与x轴垂直，交点为点M，∴在Rt△BMD中，可求BD=25，在Rt△APM中，tan∠PAM=PMAM=12，在Rt△BMD中，tan∠MDB=BMDM=12，∴∠PAM=∠MDB．由题意，要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要ABAF=DBDE1或ABAE=DF2DB． ∴4954=25DF1，解得DF1=458，∴点F1 的坐标为（1，138）．或4954=DF225，解得 DF2=329，∴点F2 的坐标为（1，-49）．综上，符合题意的F点坐标为F(1，-49)或F(1，138)．（3）∵点G（x，1）在抛物线上∴点G的坐标为（1±5，1），又∵A、B、G在同一圆上∴圆心一定在抛物线的对称轴上∵PA=PA=PG=5，∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心∴点P的坐标为（1，1）．

解析

m+12

考点

据考高分专家说，试题“已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。