已知f是二次函数，不等式f＜0的解集为，且在区间[

题文

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且在区间[-1，4]上的最大值为12，（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式：2x2+(m-10)x+5f(x)＞1(m＜0)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)由题设可设f(x)=ax(x-5)(a＞0)，在区间[-1，4]上的最大值为f(-1)=12，得a=2，f(x)=2x2-10x(5分)(2)该不等式为2x2+(m-10)x+52x2-10x＞1(m＜0)，等价于x(x+5m)(x-5)＜0(m＜0)当m＜-1，x∈(-∞，0)∪(-5m，5)；(7分)当m=-1，x∈(-∞，0)；(9分)当-1＜m＜0，x∈(-∞，0)∪(5，-5m)(11分)综上所述：不等式的解集情况为(以上三种情况)(12分)m＜-1时，解集为(-∞，0)∪(-5m，5)当m=-1时，解集为（-∞，0）当-1＜m＜0时，解集为(-∞，0)∪(5，-5m)

解析

(1)由题设可设f(x)=ax(x-5)(a＞0)，在区间[-1，4]上的最大值为f(-1)=12，得a=2，f(x)=2x2-10x(5分)(2)该不等式为2x2+(m-10)x+52x2-10x＞1(m＜0)，等价于x(x+5m)(x-5)＜0(m＜0)当m＜-1，x∈(-∞，0)∪(-5m，5)；(7分)当m=-1，x∈(-∞，0)；(9分)当-1＜m＜0，x∈(-∞，0)∪(5，-5m)(11分)综上所述：不等式的解集情况为(以上三种情况)(12分)

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。