设x1、x2是函数f=ax3+bx2

题文

设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（I）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（II）若 |x1|+|x2|=22，求b的最大值；（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x1），x∈（x1，x2），当x2=a时，求|g（x）|的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），依题意又-1和2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，∴1=-2b3a-2=-a3，解得a=6b=-9，∴f（x）=6x3-9x2-36x（经检验，适合）…3′（Ⅱ）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），依题意，x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，∵x1x2=-a3＜0且|x1|+|x2|=22，∴(x1-x2)2=8．∴(-2b3a)2+4a3=8，∴b2=3a2（6-a），∵b2≥0，∴0＜a≤6．设p（a）=3a2（6-a），则p′（a）=-9a2+36a．由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，即p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，∴当a=4时p（a）有极大值96．∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，∴b的最大值为46．-----（9分）（Ⅲ）证明：∵x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，∴f′（x）=3a（x-x1）（x-x2）．∵x1x2=-a3，x2=a，∴x1=-13．∴|g（x）|=|3a（x+13）（x-a）-a（x+13）|=|a（x+13）[3（x-a）-1]|，∵x1＜x＜x2，即-13＜x＜a，∴|g（x）|=a（x+13）（-3x+3a+1）=-3a（x+13）（x-3a+13）=-3a(x-a2)2+3a34+a2+13a≤3a34+a2+13a=a(3a+2)212．|g（x）|max=a(3a+2)212，当且仅当x=a2时取“=”…15′

解析

1=-2b3a-2=-a3

考点

据考高分专家说，试题“设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。