已知定义在R上的函数f=x3

题文

已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x，（Ⅰ）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求函数g（x）的解析式（Ⅱ）过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）=x3-3x，所以g（x）=-x3+3x              （4分）（Ⅱ）f′（x）=3（x2-1），设切点为T（x0，y0），则切线的斜率为k=3x20-3=y0-mx0-1=x30-3x0-mx0-1，…6分整理得2x3-3x2+m+3=0，依题意，方程有3个根．   …（7分）设h（x）=2x3-3x2+m+3，则h′（x）=6x2-6x=6x（x-1）．令h'（x）=0，得x1=0，x2=1，则h（x）在区间（-∞，0），[1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．…（11分）因此，h(0)=m+3＞0h(1)=m+2＜0，解得-3＜m＜-2．所以m的取值范围为（-3，-2）．…（12分）

解析

x20

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。