已知函数f是定义在上的奇函数，当x∈时，f=2x，求函数f的解析式；若不等式f+f＞0

题文

已知函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（a2-1）+f（1-a）＞0，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，∵当x∈（0，1）时，f（x）=2x，∴f（x）=-f（x）=-2-x，∴f（x）=-2-x，-1＜x＜00，x=02x，0＜x＜1；（2）∵x∈（0，1）时，f（x）=2x，∴函数在（0，1）上单调递增，∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴函数在（-1，1）上单调递增，不等式f（a2-1）+f（1-a）＞0，等价于不等式f（a2-1）＞f（a-1），∴a2-1＞a-1-1＜a2-1＜1-1＜a-1＜1，解得1＜a＜2．

解析

-2-x，-1＜x＜00，x=02x，0＜x＜1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在（-1，1）上的.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。