已知二次函数f的二次项系数为a，且不等式f＞2x的解集为．若方程f=

题文

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）在区间(-∞，a3)内单调递减，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a①由f（x）+7a=0得ax2+2（1-a）x+4a=0②∵方程②有两个相等的根，∴△=4（1-a）2-16a2=0，即3a2+2a-1=0解得a=-1或a=13由于a＜0，a=13（舍去），将a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2+4x+3．（2）g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax，∵g（x）在区间(-∞，a3)内单调递减，∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在(-∞，a3)上的函数值非正，由于a＜0，对称轴x=2(a-1)3a＞0，故g（x）≤g/(a3)=a33+43a(1-a)-3a≤0注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，得a≤-1或a≥5（舍去）故所求a的取值范围是（-∞，-1]．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。