设x1，x2是函数f=ax3+bx2

题文

设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2，且x2=a，g（x）=f'（x）-a（x-x1），求证：|g(x)|≤a(3a+2)212． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+2bx-a2，∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（-1）=0，f'（2）=0，∴3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，解得a=6，b=-9．∴f（x）=6x3-9x2-36x．-------------------（4分）（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（x1）=f'（x2）=0．∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．∴x1+x2=-2b3a，x1•x2=-a3，∵a＞0，∴x1•x2＜0，∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=(-2b3a)2-4(-a3)=4b29a2+43a-------------------（6分）由|x1|+|x2|=22得4b29a2+43a=22，∴b2=3a2（6-a）．∵b2≥0，∴3a2（6-a）≥0，∴0＜a≤6．令h（a）=3a2（6-a），则h′（a）=36a-9a2．当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）内是减函数；∴当a=4时，h（a）是极大值为96，∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是46．…（8分）（3）∵x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根．∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）∵x1•x2=-a3，x2=a，∴x1=-13∴|g(x)|=|3a(x+13)(x-a)-a(x+13)|=|a(x+13)[3(x-a)-1]|…（10分）∵x1＜x＜x2，∴g(x)=a(x+13)(-3x+3a+1)═-3a(x+13)(x-3a+13)=-3a(x-a2)2+3a34+a2+13a≤3a34+a2+13a=a(3a+2)212

解析

2b3a

考点

据考高分专家说，试题“设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。