设函数f=x2ax

题文

设函数f（x）=x2ax-2（a∈N*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-1m成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设{an}是各项非零的数列，若f(1an)=14(a1+a2+…+an)对任意n∈N*成立，求数列{an}的一个通项公式；（3）在（2）的条件下，数列{an}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=x2ax-2（a∈N*），∴f（m）=m2am-2=m，且m≠0，∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=2a-1①；又f（-m）=m2-am-2＜-1m，即m3am+2＞1，由（a，m∈N*）得：m3＞am+2②，把①代入②，得8(a-1)3＞2aa-1+2；整理，得8(a-1)3-2a-1-4＞0，根据a≠1，a∈N*，取a=2，满足上式，当a≥3时，8(a-1)3-2a-1-4＜0，故a=2，此时m=2；所以，函数f（x）=x22x-2．（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）知f（x）=x22x-2，则f(1an)=12an-2an2，代入f(1an)=14(a1+a2+…+an)，得2an-2an2=4（a1+a2+…+an）=4sn，即an-an2=2sn，∴an-1-an-12=2sn-1（n≥2），∴（an-an2）-（an-1-an-12）=2an，∴an+an-1=0，或an-an-1=-1（n≥2），又当n=1时，a1-a12=2a1，∴a1=0（舍去），或a1=-1；由an-an-1=-1，得{an}是等差数列，通项an=-n．（3）由（2）的条件知，数列{an}的通项公式不止一个，例如由an+an-1=0，且a1=-1，可得an=（-1）n（n为奇数时）；所以，数列{an}不是惟一确定的．

解析

x2ax-2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2ax-2（a∈N*）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。