．设函数f(x)=

题文

．设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤4a1+a2成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即g（t）=4t3-3t+3．（2）我们有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．列表如下：t（-1，-12）-12（-12，12）12（12，1）g'（t）+0-0+G（t）↗极大值g（-12）↘极小值g（12）↗由此可见，g（t）在区间（-1，-12）和（12，1）单调增加，在区间（-12，12）单调减小，极小值为g（12）=2，又g（-1）=-4-（-3）+3=2故g（t）在[-1，1]上的最小值为2注意到：对任意的实数a，4a1+a2=4a+1a∈[-2，2]当且仅当a=1时，4a1+a2=2，对应的t=-1或12，故当t=-1或12时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥4a1+a2成立．而当t∈（-1，1]且t≠12时，这样的a不存在．

解析

x2

考点

据考高分专家说，试题“．设函数f(x)=-cos2x-4tsi.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。