已知函数f=xk+b的图象过点、两点．求f的解析式；若函数g的图象与函数f的图象关于

题文

已知函数f（x）=xk+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若P1，P2，P3，…，Pn，…是函数f（x）图象上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…是一系列正三角形，记它们的边长是a1，a2，a3，…，an，…，探求数列an的通项公式，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）2=4k+b4=16k+b⇒b=0，k=12⇒f(x)=x（2）g（x）=x2（x≥0）g（x）+g（x-2）＞2ax+2⇔x-2≥0x2+(x-2)2＞2ax+2原问题等价于a＜x+1x-2在x∈[2，+∞）恒成立，利用函数y=x+1x-2在区间[2，+∞）上为增函数，可得a＜12；（3）由y=xy=3x⇒x=13⇒a1=23，由y=xy=3(x-Sn-1)⇒3x-x-3Sn-1=0⇒x=1+6Sn-1+1+12Sn-16，将x代入an=2(x-Sn-1)=13+131+12Sn-1，∴(an-13)2=19•(1+12Sn-1)且a1=23，又(an+1-13)2=19•(1+12Sn)，两式相减可得：(an+1-13)2-(an-13)2=43an⇒(an+1-13)2=(an+13)2⇒(an+1+an)(an+1-an-23)=0，又，因为an＞0，所以an+1-an-23=0，从而an是以23为首项，23为公差的等差数列，即an=2n3．

解析

2=4k+b4=16k+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=xk+b（常数k，b∈.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。