已知三次函数f=ax3

题文

已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3处有极值．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）图象过点（1，8），∴a-5+c+d=8，即a+c+d=13①又f′（x）=3ax2-10x+c，且点（1，8）处的切线经过（3，0），∴f′（1）=8-01-3=-4，即3a-10+c=-4，∴3a+c=6②又∵f（x）在x=3处有极值，∴f′（3）=0，即27a+c=30③联立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，f（x）=x3-5x2+3x+9（2）f′（x）=3x2-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x1=13，x2=3当x∈（0，13）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=9当x∈（13，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）＞f（3）=0．又∵f（3）=0，∴当m＞3时，f（x）＞0在（0，m）内不恒成立．∴当且仅当m∈（0，3]时，f（x）＞0在（0，m）内恒成立．所以m取值范围为（0，3]．

解析

8-01-3

考点

据考高分专家说，试题“已知三次函数f（x）=ax3-5x2+c.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。