若x1、x2是函数f=ax3+bx2

题文

若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=-13，x2=1，求函数f（x）的解析式；（2）若|x1|+|x2|=23，求b的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）依题意有-13和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根∴-2b3a=23-a3=-13解得 a=1b=-1，∴f（x）=x3-x2-x．（经检验，适合）．（2）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，∵x1x2=-a3＜0且 |x1|+|x2|=23，∴(-2b3a)2+4a3=12，∴b2=3a2（9-a）∵b2≥0∴0＜a≤9．设p（a）=3a2（9-a），则p'（a）=54a-9a2．由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，∴当a=6时，p（a）有极大值为324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，∴b的最大值为18．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。