设f=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f'的图象经过点，如图所示，求f的解析式；若对x∈[﹣3，3]都有f（

题文

设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），，∴∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8∴f（x）min=f（3）=﹣33﹣33≥m2﹣14m，3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax3+bx2+cx的.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。