已知在区间上是增函数.求实数的值组成的集合；设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不

题文

已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及 恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）实数a的值组成的集合；（2）存在实数，使得不等式对任意及 恒成立．

解析

（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用将用参数进行表示，进而得到不等式对任意及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.试题解析：（1）因为在区间上是增函数，所以，在区间上恒成立，，所以，实数的值组成的集合；（2）由 得，即，因为方程，即的两个非零实根为、，、是方程两个非零实根，于是，，，，，设，，则， 若对任意及恒成立，则，解得或，因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.

考点

据考高分专家说，试题“已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。