设函数，是定义域为的奇函数．求的值，判断并证明当时，函数在上的单调性；已知，函数，求的值域；已知，若对于时恒成立.请求出最大的整数．

题文

设函数，是定义域为的奇函数．（Ⅰ）求的值，判断并证明当时，函数在上的单调性；（Ⅱ）已知，函数，求的值域；（Ⅲ）已知，若对于时恒成立.请求出最大的整数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ），在R上为增函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大整数为10.

解析

（Ⅰ）由奇函数的性质得，由单调性的定义证明 在R上是增函数；（Ⅱ）由可得，，由换元法令，将函数转化为二次函数求最值；（Ⅲ）时，原式可化为，令，由分离参数的方法得到，进而得到的取值范围.本题中用到换元法，换元之后应特别注意变元的取值范围.试题解析：（Ⅰ）是定义域为R上的奇函数，，得．，，即是R上的奇函数 2分设，则，，，，在R上为增函数 5分（Ⅱ），即，或（舍去）则，令，由（1）可知该函数在区间上为增函数，则则           8分当时，；当时，所以的值域为            10分（Ⅲ）由题意，即，在时恒成立令，则则恒成立即为恒成立          13分，恒成立，当时，，则的最大整数为10           16分

考点

据考高分专家说，试题“设函数，是定义域为的奇函数．（Ⅰ）求的值.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。