已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不等式的解集为。求函数的解析式；设其中，求函数在时的最大值；若，对任意，总存在使得成立，求实

题文

已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不等式的解集为。（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设其中，求函数在时的最大值；（Ⅲ）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）

解析

（Ⅰ）属于三个二次之间的关系，由一元二次不等式的解集为 可知二次函数有两个零点分别为-2,0.求得a与b的关系，再根据的最小值为-1，得的值求出解析式,( Ⅱ)由（Ⅰ）得出解析式再利用二次函数动轴定区间思想求解, （Ⅲ）利用( Ⅱ)得出的解析式，再利用单调性求得k的取值范围.试题解析：（Ⅰ）0,2是方程的两根，，又的最小值即 所以                                  .（4分）（Ⅱ）分以下情况讨论的最大值 （1）.当时，在上是减函数，                         .（6分）（2）.当时，的图像关于直线对称，，故只需比较与的大小.当时，即时，. （8分）当时，即时，；         .（9分）综上所得.                    .（10分）（Ⅲ），函数的值域为在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则                             .（14分）

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。