已知定义域为的函数是奇函数.求值；判断并证明该函数在定义域R上的单调性；设关于的函数有零点，求实数的取值范围.

题文

已知定义域为的函数是奇函数.（Ⅰ）求值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（Ⅲ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）=1.（Ⅱ）f(x)在R上为减函数..（Ⅲ）.

解析

（Ⅰ）根据奇函数的定义域为R可求出的值.（Ⅱ）已知函数式化简后计算会简单些，通过单调性的定义证明函数在R上是递减的.（Ⅲ）通过第二步的单调性可得两个变量要相等，求出b的范围.本题包含了函数的奇偶性的知识，单调性的知识，同时对单调性做了一个应用.综合性较强难度不算大.第三步的范围有一定的难度，最后转化为根的存在性所以b应该大于或等于的最小值，这个解题思想要理解把握.试题解析：（Ⅰ）因为f（x）的定义域为R且为奇函数，所以f(0)=0,解得=1，经检验符合.（Ⅱ），f(x)在R上为减函数下：设在R上为减函数. .所以f(x)在R上为减函数.（Ⅲ）因为F（x）=0,所以，有解.所以b=

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为的函数是奇函数.（Ⅰ）求值；.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。