已知函数．求的单调区间；如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；讨论关于的方程的实根情况．

题文

已知函数（）．（1）求的单调区间；（2）如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）讨论关于的方程的实根情况． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为；（2）的最小值为；（3）时，方程有两个实根，当时，方程有一个实根，当时，方程无实根．

解析

本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先求导数，令导数等于0，得到方程的根，则为增函数，为减函数，本问要注意函数的定义域；第二问，先利用导数求出切线的斜率，得到恒成立的表达式，将其转化为对恒成立，所以关键就是求，配方法求最大值即可；第三问，先将原方程化为，设，看函数图像与x轴的交点，对求导，判断函数的单调性，求出函数的最大值，讨论最大值的三种情况来决定方程根的情况.试题解析：(Ⅰ) ，定义域为，则．因为，由得， 由得，所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为．   .3分(Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足 ，所以对恒成立． 又当时， ，所以的最小值为．        .6分(Ⅲ)由题意，方程化简得令，则． 当时， ，当时， ，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，最大值为．所以当，即时， 的图象与轴恰有两个交点，方程有两个实根， 当时，的图象与轴恰有一个交点，方程有一个实根，当时，的图象与轴无交点，方程无实根．                12分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（）．（1）求的单调区间；（2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。