已知函数f(x)＝log4(2x＋3－x2)．(1)求f(x)的定义域；(2) 求f(x)的单调区间．

题文

已知函数f(x)＝log4(2x＋3－x2)．(1)求f(x)的定义域；(2) 求f(x)的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) {x|－1＜x＜3} (2) 该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)

解析

本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解，求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑．（1）由题意可得2x+3-x2＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域（2）要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=2x+3-x2在定义域内的单调区间即可解 (1)令u＝2x＋3－x2，则u＞0，可得函数定义域是：{x|－1＜x＜3}．…5分(2) y＝log4u．由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4.再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1]，减区间是[1，3)． ……7分又y＝log4u为(0，＋∞)上的增函数，                      ……8分故该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)．    ……10分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝log4(2x＋3－x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。