已知函数(）是奇函数，有最大值且.求函数的解析式；是否存在直线与的图象交于P、Q两点，并且使得、两点关于点对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，说

题文

已知函数(）是奇函数，有最大值且.（1）求函数的解析式；（2）是否存在直线与的图象交于P、Q两点，并且使得、两点关于点 对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）（2）过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0

解析

(1)由于f(x)为奇函数，可知f(-x)+f(x)=0恒成立，据此可求出c=0.∴f(x)=.由a＞0，,所以当x>0时，才可能取得最大值，所以x＞0时，当且仅当,即时，f(x)有最大值,从而得到a=b2 ,再结合f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2,,可求出a,b的值.(2)本小题属于存在性问题，先假设存在，设P(x0,y0),根据P、Q关于点（1，0）对称,可求出点P的坐标，从而确定Q的坐标，所以PQ的方程易求.解：（1）∵f(x)是奇函数，∴f(–x)=－f(x)，即，∴－bx+c=－bx–c，∴c=0，------------2分∴f(x)=.由a＞0，，     当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.∴x＞0时，当且仅当即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2        ①又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b="1,a=1," ----------4分∴f(x)=              ------------7分（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0---9分解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()，进而相应Q点坐标为Q（）或Q()， -------11分过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求. -----------15分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数(）是奇函数，有最大值且.（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。