已知函数. 若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；当时，试判断与的大小关系，并证明你的结论；(Ⅲ) 当且时，证明：.

题文

（本小题满分14分）已知函数. （Ⅰ）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，试判断与的大小关系，并证明你的结论；(Ⅲ) 当且时，证明：. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）的取值范围为.（Ⅱ）当时，. (Ⅲ)见解析.

解析

（I）求函数.的导数，注意定义域，令导函数大于或等于0，分离参数，令一端配方求出最值即得的范围；（II）由（Ⅰ）可知：时，，（当时，等号成立），令，则取两边分别相加整理即得结论；（III）由（2）知，当，令求导可得最小值，所以时，（当且仅当时，等号成立），令，则，所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加证明即可.（Ⅰ），函数的定义域为..依题意，在恒成立，在恒成立.，，∴的取值范围为.   ……………………………………………………… （4分）（Ⅱ）当时，.证明：当时，欲证，只需证.由（Ⅰ）可知：取，则，而，（当时，等号成立）.用代换，得，即，∴.在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.∴当时，.        ………………………………………… （9分）(Ⅲ)由（Ⅱ）可知（时，等号成立）.而当时：，∴当时，.设，则，∴在上递减，在上递增，∴，即在时恒成立.故当时，（当且仅当时，等号成立）.    …… ①用代换得：（当且仅当时，等号成立）.     …… ②当时，由①得，. 当时，由②得，用代换，得.∴当时，，即.在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.故当且时，.    …………………………………………………（14分）

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数. （Ⅰ）若.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。