设函数，．关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界

题文

设函数（），．（Ⅰ）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；（Ⅱ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

解析

(1)解本题的关键是把不等式解集的问题转化为函数零点的分布问题.把函数代入整理得构造结合二次函数的性质得一个零点在区间，则另一个零点必在内，所以解得；也可以分解因式确定解集的端点解得.前提都要保证.（2）与是否存在“分界线”要先看是否存在公共点，构造函数研究单调性可求出与有公共点，所以分界线必过点设出“分界线”方程为，证明在恒成立，求出.然后证明恒成立．即可得到所求“分界线”方程为：（Ⅰ）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故， 令，由且， 所以函数的一个零点在区间， 则另一个零点一定在区间，            …………4分故解之得．        ………………6分解法二：恰有三个整数解，故，即， ，所以，又因为， …………4分所以，解之得． ……………6分（Ⅱ）设，则．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点．………8分设与存在 “分界线”，方程为，即，由在恒成立，则在恒成立 ．所以因此． ………11分 下面证明恒成立．设，则．所以当时，；当时，．因此时取得最大值，则 故所求“分界线”方程为：．

考点

据考高分专家说，试题“设函数（），．（Ⅰ）关于的不等式的解集中.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。