若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且求函数f(x)的解析式；求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；设函数g(x)

题文

若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f(x)＝－x3＋x，f(x)max＝，(0，)]．

解析

解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0， ∴f /(x)＝3ax2＋c，则 故f(x)＝－x3＋x；………………………………3分 （2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－) ∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0， 如图所示， 当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，当m≥时，f(x)max＝f()＝． 故f(x)max＝．………………8分 （3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2， 又令t＝xy，则0＜t≤k2， 故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－ ＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2] 当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合 当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增， 且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立， 必须， 故实数k的取值范围是(0，)]．………………12分

考点

据考高分专家说，试题“若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。