设f的定义域为，f的导函数为f'，且对任意正数x均有f′(x)＞f(x)x，判断函数F(x)=f(x)x在上的单

题文

设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞f(x)x，（1）判断函数F(x)=f(x)x在（0，+∞）上的单调性；（2）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论；（3）设x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x1）+f（x2）+…+f（xn）与f（x1+x2+…+xn）的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于f′(x)＞f(x)x得，xf′(x)-f(x)x＞0，而x＞0，则xf′（x）-f（x）＞0，则F′（x）=xf′(x)-f(x)x2＞0，因此F(x)=f(x)x在（0，+∞）上是增函数．（2）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，而F(x)=f(x)x在（0，+∞）上是增函数，则F（x1）＜F（x1+x2），即f(x1)x1＜f(x1+x2)x1+x2，∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），同理 （x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，因此 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．（3）证法1：由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2+…+xn，而F(x)=f(x)x在（0，+∞）上是增函数，则F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），即f(x1)x1＜f(x1+x2+…+xn)x1+x2…+xn，∴（x1+x2+…+xn）f（x1）＞x1f（x1+x2+…+xn）同理 （x1+x2+…+xn）f（x2）＞x2f（x1+x2+…+xn）…（x1+x2+…+xn）f（xn）＞xnf（x1+x2+…+xn）以上n个不等式相加得：（x1+x2+…+xn）[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]＞（x1+x2+…+xn）f（x1+x2+…+xn）而x1+x2+…+xn＞0，f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）．证法2：数学归纳法①当n=2时，由（2）知，不等式成立；②当n=k（n≥2）时，不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）成立，即f（x1）+f（x2）+…f（xk）＞f（x1+x2+…+xk）成立，则当n=k+1时，f（x1）+f（x2）+…f（xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）再由（2）的结论，f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f[（x1+x2+…+xk）+xk+1]f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk+xk+1）因此不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）对任意n≥2的自然数均成立

解析

f(x)x

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。