已知复数z1=log2+ki，z2=1

题文

已知复数z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，（1）求k的值；（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=12x+m的图象最多只有一个交点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）z1z2=（log2（2x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log2（2x+1）+kx，因为函数f（x）是关于x的偶函数所以f（-x）=log2（2-x+1）-kx=log2（2x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以k=-12（2）由（1）可知f（x）=log2（2x+1）-12x，所以y=f（log2x）=log2（x+1）-12log2x=log2x+1x=log(x+1x)2，所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，ymin=log2(a+1a)(0＜a≤1)1(a＞1)（3）函数y=f（x）图象与直线y=12x+m的图象最多只有一个交点，就是log2（2x+1）-12x=12x+m最多只有一个解，就是log2（2x+1）=x+m最多只有一个解，因为函数log2（2x+1）是单调增函数，x+m也是单调增函数，所以对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=12x+m的图象最多只有一个交点．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知复数z1=log2（2x+1）+ki.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。