定义在实数集R上的偶函数f的最小值为3，且当x≥0时，f=3ex+a，其中e是自然对数的底数．求函数f的解析式．求最大的整数m（m

题文

定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3ex+a，其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=ex是增函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，∴f（x）min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0当x＜0时，∵-x＞0∴f（x）=f（-x）=3e-x综上，f(x)=3exx≥03e-xx＜0（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e当1+t≥0时，3e1+t≤3e即e1+t≤e，1+t≤1，∵-1≤t≤0当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，∴-2≤t≤0同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得em+t≤em∴et≤emem由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．∵et在[-2，0]上的最小值为e-2，∵e-2≤emem，即em-e3m≤0①令g（x）=ex-e3x，x∈[2，+∞）．则g'（x）=ex-e3由g'（x）=0得x=3当2≤x＜3时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）是增函数∴g（x）的最小值是g（3）=e3-3e3=-2e3＜0，又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m0∈（4，5）．当2≤x≤m0时，g（x）≤0，当x＞m0时，g（x）＞0∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m0当t=-2，x∈[1，m0]时，f（x-2）-3ex=3e（e|x-2|-1-x），在x∈[1，2）时，∵e|x-2|-1=e1-x≤1∴f（x-2）-3ex≤0，在x∈[2，m0]时，f（x-2）-3ex=3e(ex-3-x)=3e2g(x)≤0综上所述，m最大整数为4．

解析

3exx≥03e-xx＜0

考点

据考高分专家说，试题“定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。