设函数f=ex，g=x2+4x+5，g的导函数为g'．若函数y=f(2x)e

题文

设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．（Ⅰ）若函数y=f(2x)e-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x0，同时满足：（i）x0是函数h（x）的零点；（ii）h′（x0）=0．试确定x0、n的值，并证明函数h（x）在R上为增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）∵y=f(2x)e-ag′(x)+4a=e2x-1-2ax，∴y′=2e2x-1-2a，当a≤0时，y'＞0，函数在R上为增函数，故没有最小值，∴a＞0（2分）此时由2e2x-1-2a=0得：x=12（lna+1），且x＞12（lna+1）时，y'＞0x＜x＞12（lna+1）时，y'＜0，∴x∈（-∞，12（lna+1））时，函数为减函数，x∈（12（lna+1），+∞）时，函数为增函数，∴ymin=a-2a•12(lna+1)=-alna，∵ymin=0，∴a=1(6分)（Ⅱ）∵h（x）=ex+2n-n（x2+4x+5），∴h'（x）=ex+2n-2nx-4n，∵{h(x0)=0h′(x0)=0，{ex0+2n=2nx0+4n(1)ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)，∴nx02+4nx0+5n=2nx0+4n由（1）知n≠0，∴2x0+4=x02+4x0+5，∴（x0+1）2=0∴x0=-1（9分）代入（1）有e2n-1-2n=0，由第（I）小题知，A、=1时，函数y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0，且当x=12(lna+1)=12取到最小值0∴方程e2n-1-2n=0有唯一解n=12，∴x0=-1，n=12(11分)∵h(x)=ex+1-12(x2+4x+5)，∴设R(x)=h′(x)=ex+1-x-2，R'（x）=ex+1-1，（12分）∴x≥-1时，R'（x）≥0，x＜-1时，R'（x）＜0x=-1时，R（x）min=0，∴x∈R，R（x）≥0，仅当x=-1时R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且仅当x=-1时h'（x）=0，∴h（x）在R上为增函数（14分）

解析

f(2x)e

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。