已知奇函数f的定义域为实数集，且f在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f

题文

已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（4m-2mcosθ）-f（2sin2θ+2）＞f（0）对所有的θ∈[0，π2]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，函数f（x）的定义域为实数集∴f（x）在（-∞，+∞）上连续∵函数f（x）为奇函数，在[0，+∞）上是增函数，故f（x）在（-∞，+∞）上为增函数由f（0）=-f（-0），得f（0）=0f（4m-2mcosθ）-f（2sin2θ+2）＞f（0）=0移向变形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin2θ+2）∴由f（x）（-∞，+∞）上连续且为增函数，得4m-2mcosθ＞2sin2θ+2∴2cos2θ-4-2mcosθ+4m＞0cos2θ-mcosθ+（2m-2）＞0根据题意，0≤θ≤π2时，0≤cosθ≤1方法（1）令t=cosθ∈[0，1]则问题等价于t∈[0，1]时，t2-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围令f（t）=t2-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=m2，分类讨论：①当此抛物线对称轴t=m2在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，函数最小值（2m-2）-m24＞0即可，此时m2-8m+8＜0，∴4-22＜m≤2②当对称轴在（-∞，0）时，m＜0，只要f（0）＞0即可，此时2m-2＞0，推出m＞1，与m＜0矛盾，此情况不成立，舍去③当对称轴在（1，+∞）时，m＞2，只要f（1）＞0即可，此时1-m+2m-2=m-1＞0，推出m＞1，∴m＞2综上所述，m的取值范围是（4-22，+∞）方法（2）：参数分离法由cos2θ-mcosθ+（2m-2）＞0，得cos2θ-2+m（2-cosθ）＞0，即m（2-cosθ）＞2-cos2θ因为0≤cosθ≤1，所以m＞2-cos2θ2-cosθ=cos2θ-2cosθ-2．因为cos2θ-2cosθ-2=(cosθ-2)2+4cosθ-6cosθ-2=(cosθ-2)2+4(cosθ-2)+2cosθ-2=cosθ-2+2cosθ-2+4，因为0≤cosθ≤1，所以cosθ-2＜0，所以原式=-[(2-cosθ)+22-cosθ]+4≤-2(2-cosθ)⋅22-cosθ+4=4-22，当且仅当2-cosθ=22-cosθ，即（2-cosθ）2=2，2-cosθ=2，cosθ=2-2时取等号．所以cos2θ-2cosθ-2的最大值为4-22，所以m＞4-22．所以m的取值范围是（4-22，+∞）．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。