定义在R上的函数f满足：对任意x、y∈R都有f+f=f．求证：函数f是奇函数；如果当x∈时，有f

题文

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、y∈R都有f（x）+f（y）=f（ x+y）．（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）如果当x∈（-∞，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；（3）在满足条件（2）求不等式f（1-2a）+f（4-a2）＞0的a的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）、证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．（2）、任取-1＜x1＜x2＜1，则x1-x2＜0，由题设x＜0时，f（x）＞0，可得f（x1-x2）＞0f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＞0故有f（x1）＞f（x2）所以f（x）在（-1，1）上是单调递减函数．（3）、任取x1＜x2，则x1-x2＜0，由题设x＜0时，f（x）＞0，可得f（x1-x2）＞0f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＞0故有f（x1）＞f（x2）所以f（x）在R上是单调递减函数．由题意可知：f（x）奇函数，f（1-2a）+f（4-a2）＞0所以f（1-2a）＞f（a2-4）又因为f（x）在R上是单调递减函数．所以1-2a＜a2-4，解得：(-∞，-1-6)∪(-1+6，+∞)．

解析

6

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。