函数f满足下列条件：①f=1②f=mf．求证：f=f+f；证明：f在（0，

题文

函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=mf（x）．（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：令x=am，y=an，则f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a）=m+n，同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证（2）证明：任设x1，x2∈R+，x1＞x2，可令，x1=x2t（t＞1），t=aα（α＞0）则f（x1）-f（x2）=f（x2t）-f（x2）=f（x2）+f（t）-f（x2）=f（t）=f（aα）=αf（a）=α＞0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在正实数集上单调递增（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）即f（x）+f（3-x）≤f（a2），即f[(x)(3-x)]≤f(a2)0＜x＜3，即x(3-x)≤a20＜x＜3，而当0＜x＜3时，[x(3-x)]max=94依题意，有a2≥94，又a＞1∴a≥32．

解析

f[(x)(3-x)]≤f(a2)0＜x＜3

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。