函数y=f满足f=f，且x1，x2∈时，f(x1)

题文

函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1-x），且x1，x2∈（2，+∞）时，f(x1)-f(x2)x1-x2＞0成立，若f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2）对θ∈R恒成立．（1）判断y=f（x）的单调性和对称性；（2）求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），∴y=f （x）的对称轴为x=2．…（2分）当2＜x1＜x2时，f （x1）＜f （x2）；  当2＜x2＜x1时，f （x2）＜f （x1）．∴y=f （x）在（2，+∝）上为增函数，在（-∞，2）上为减函数．…（4分）（2）由f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2），可得|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2-3m-4|，即m2-3m-4+sinθ＞cos2θ+2m2（i），或m2-3m-4+sinθ＜-cos2θ-2m2（ii）恒成立．…（7分）由（i）得m2+3m+4＜-cos2θ+sinθ=（sinθ+12）2-54恒成立，∴m2+3m+4＜-54，故 4m2+12m+21＜0恒成立，m无解．…（10分）由（ii） 得3m2-3m-4＜-cos2θ-sinθ=（sinθ-12）2-54恒成立，可得3m2-3m-4＜-54，即 12m2-12m-11＜0，解得 3-426＜m＜3+426．…（13分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。