函数f(x)=ax+2b1+x2是定义在上的奇函数，且f(1)=12．求函数f的解析式；讨论函数f的单调性；解不等式f

题文

函数f(x)=ax+2b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1)=12．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）解不等式f(2-t)+f(t5)＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0，∴f（x）=ax1+x2，x∈（-1，1），∵f（1）=12，∴a=1，则f（x）=x1+x2，x∈（-1，1）；（2）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=x11+x12-x21+x22=x1(1+x22)-x2(1+x12)(1+x12)=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)，由x1＜x2，得x1-x2＜0，由x1，x2∈（-1，1），得x1x2∈（-1，1），即1-x1x2＞0，∵1+x12≥1，1+x22≥1，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，∴f（2-t）=-f（t-2），∴f（t5）＜f（t-2），又f（x）在（-1，1）上是增函数，∴t5＜t-2-1＜t-2＜1-1＜t5＜1，解得：t＞521＜t＜3-5＜t＜5，则不等式的解集为（52，3）．

解析

ax1+x2

考点

据考高分专家说，试题“函数f(x)=ax+2b1+x2是定义在.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。