已知函数f=ax2+bx+1．当函数f的图象过点，且方程f=0有且只有一个根，求f的表

题文

已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若F(x)=f(x)x＞0-f(x)x＜0当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b2-4a=0．所以b2-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）所以f（x）=（x+1）2．（4分）（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2-（k-2）x+1=(x-k-22)2+1-(k-2)24．（6分）所以当k-22≥2或k-22≤-2时，即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．（9分）（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax2+1．所以F(x)=ax2+1x＞0-ax2-1x＜0.（10分）因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．所以|m|＞|-n|．（12分）此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-an2-1=a（m2-n2）＞0．所以F（m）+F（n）＞0．（14分）

解析

k-22

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。