对于定义在区间D上的函数f和g，如果对于任意x∈D，都有

题文

对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若f(x)=x2-1x，g(x)=lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(1m，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；（3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-12x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)-g(x)=x2-1x-lnx，令h(x)=x2-1x-lnx，∵h′(x)=12+1x2-1x=x2+2-2x2x2＞0，∴h（x）在[1，e]上单调增，∴h(x)∈[-12，e2-1e-1]．∴|f（x）-g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．（2）记k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得k/(x)=x-1x当1m＜x＜1时，k′（x）＜0，在区间(1m，1)上函数k（x）为减函数，当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，故f（x）在(1m，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，即|f（x）-g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．∴|alnx-ax+12x2-x|≤1．-1≤alnx-ax+12x2-x≤1，由（2）知，当x∈[1，e]时，x-lnx＞0恒成立，∴有a≤12x2-x+1x-lnx，令F(x)=12x2-x+1x-lnx，∵F′(x)=(x-1)(x-lnx)-(1-1x)(12x2-x+1)(x-lnx)2=(x-1)(12x+1-lnx-1x)(x-lnx)2，由（1）的结果可知12x+1-lnx-1x＞0，∴F'（x）恒大于零，∴a≤12．②a≥12x2-x-1x-lnx，令G(x)=12x2-x-1x-lnx，∵G′(x)=(x-1)(x-lnx)-(1-1x)(12x2-x-1)(x-lnx)2=(x-1)(12x+1-lnx+1x)(x-lnx)2，∵12x+1-lnx+1x＞12x+1-lnx-1x＞0，∴G'（x）恒大于零，∴a≥e2-2e-22(e-1)，即实数a的范围为e2-2e-22(e-1)≤a≤12

解析

x2

考点

据考高分专家说，试题“对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。